Метод замены переменной

Реклама

В основе метода лежит следующее простое свойство неопределенного интеграла:

замена переменной в интеграле

Мы выражаем исходную переменную интегрирования x через новую переменную t и получаем выражение для dx Затем подставляем полученные выражения в исходный интеграл. Предполагается, что замена подобрана таким образом, что последний интеграл вычислить легче, чем исходный.

Рассмотрим пример:

пример замены переменной

мы ввели новую переменную по формуле:

новая переменная

затем вычислили величину dt :

новая переменная

после этого мы подставили полученные выражения в исходный интеграл:

выражение для интеграла через новую переменную

В результате замены переменной, мы получили более простой интеграл:

выражение для интеграла после замены переменной

который уже гораздо легче вычислить:

решение для интеграла через новую переменную

после вычисления, мы должны вернуться к старой переменной:

решение для интеграла через старую переменную

таким образом, окончательно, получаем:

ответ для интеграла

Полученный результат всегда можно проверить обратным дифференцированием:

проверка правильности решения интеграла

Рассмотрим еще один пример:

пример решения интеграла через метод замены переменной

Воспользуйтесь нашим онлайн калькулятором интегралов который автоматически определит и сделает оптимальную замену для вычисления вашего неопределенного интеграла. При этом весь ход решения будет подробно расписан по шагам.

Оставить свой комментарий