Интегрирование методом замены переменной

В основе метода лежит следующее простое свойство неопределенного интеграла:

Мы выражаем исходную переменную интегрирования x через новую переменную t и получаем выражение для dx. Затем подставляем полученные выражения в исходный интеграл. Предполагается, что замена подобрана таким образом, что последний интеграл вычислить легче, чем исходный.

Рассмотрим пример:

мы ввели новую переменную по формуле:

затем вычислили величину dt:

после этого мы подставили полученные выражения в исходный интеграл:

В результате замены переменной, мы получили более простой интеграл:

который уже гораздо легче вычислить:

после вычисления, мы должны вернуться к старой переменной:

таким образом, окончательно, получаем:

Полученный результат всегда можно проверить обратным дифференцированием:

Рассмотрим еще один пример:

продолжаем:

Воспользуйтесь нашим онлайн калькулятором интегралов который автоматически определит и сделает оптимальную замену для вычисления вашего неопределенного интеграла. При этом весь ход решения будет подробно расписан по шагам.